\subsection{圆和圆的位置关系}\label{subsec:czjh2-7-13}

从图 \ref{fig:czjh2-7-49} 的一些圆形部件之间的相互位置关系中可以看出，同一平面内的两个圆，可能有下面的几种位置关系：

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{8cm}
        \centering
        \includegraphics[width=7cm]{../pic/czjh2-ch7-49-1.png}
        \caption*{自行车}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \includegraphics[width=3cm]{../pic/czjh2-ch7-49-2.png}
        \caption*{滚珠轴承}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-49}
\end{figure}

（1） 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆\zhongdian{外离}（图 \ref{fig:czjh2-7-50} 甲）。

（2） 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，
叫做这两个圆\zhongdian{外切}（图 \ref{fig:czjh2-7-50} 乙）。这个唯一的公共点叫做\zhongdian{切点}。


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4.7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-50-a}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-50-b}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-50-c}
        \caption*{丙}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-50-d}
        \caption*{丁}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \begin{minipage}[b]{2.8cm}
            \input{../pic/czjh2-ch7-50-e-1}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}[b]{2.8cm}
            \input{../pic/czjh2-ch7-50-e-2}
        \end{minipage}
        \caption*{戊}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-50}
\end{figure}

（3） 两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆\zhongdian{相交}（图 \ref{fig:czjh2-7-50} 丙）。

（4） 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，
叫做这两个圆\zhongdian{内切}（图 \ref{fig:czjh2-7-50} 丁）。这个唯一的公共点叫做\zhongdian{切点}。

（5） 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆\zhongdian{内含}（图 \ref{fig:czjh2-7-50} 戊）。
两圆同心是两圆内含的一种特例。

从图 \ref{fig:czjh2-7-50} 可以看出，圆和圆的位置关系与两圆半径、圆心距的大小有关。
如果两圆的半径分别为 $R$ 和 $r$， 圆心距为 $d$，那么


\zhongdian{（1） $\bm{d > R + r} \dengjiayu$ 两圆外离；}

\zhongdian{（2） $\bm{d = R + r} \dengjiayu$ 两圆外切；}

\zhongdian{（3） $\bm{R - r < d < R + r \; (R \geqslant r)} \dengjiayu$ 两圆相交；}

\zhongdian{（4） $\bm{d = R - r \; (R > r)} \dengjiayu$ 两圆内切；}

\zhongdian{（5） $\bm{d < R - r \; (R > r)} \dengjiayu$ 两圆内含。}

在图 \ref{fig:czjh2-7-50} 中，设想 $\yuan\,O_1$ 固定不动， $\yuan\,O_2$ 从一方移近并进入 $\yuan\,O_1$，
直到圆心 $O_2$ 和 $O_1$ 重合，就可以看到上面所说的各种情况。

关于相交的两圆，有下面的定理：

\begin{dingli}[定理]
    相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦。
\end{dingli}

已知：$\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_1$ 相交于点 $A$ 和 $B$ （图 \ref{fig:czjh2-7-51}）。

求证： 直线 $O_1O_2$ 垂直平分线段 $AB$。

\zhengming 因为，经过圆心 $O_1$ 和 $O_2$ 的直线是 $\yuan\,O_1$ 的对称轴，又是 $\yuan\,O_2$ 的对称轴，
所以， $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的公共点 $A$ 的对称点在 $\yuan\,O_1$ 上，又在 $\yuan\,O_1$ 上。
这个对称点只能是两圆的另一个交点 $B$。 这样，连心线 $O_1O_2$ 就是连结对称点 $A$、$B$ 的线段的垂直平分线。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{5.2cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-51}
        \caption*{} % 与下面的图水平对齐
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-51}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{10.5cm}
        \centering
        \begin{minipage}[b]{5.6cm}
            \centering
            \input{../pic/czjh2-ch7-52-a}
            \caption*{甲}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}[b]{4cm}
            \centering
            \input{../pic/czjh2-ch7-52-b}
            \caption*{乙}
        \end{minipage}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-52}
    \end{minipage}
\end{figure}


关于相切的两圆，有下面的定理：

\begin{dingli}[定理]
    相切两圆的连心线，经过切点。
\end{dingli}

已知： $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 相切于点 $T$（图 \ref{fig:czjh2-7-52}）。

求证： 连心线 $O_1O_2$ 经过切点 $T$。

\zhengming 用反证法。

假设 $O_1O_2$ 不经过 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的切点 $T$ （即点 $T$ 不在 $O_1O_2$ 上），
那么，点 $T$ 关于 $O_1O_2$ 的对称点 $T'$ 也不在 $O_1O_2$ 上。
由于直线 $O_1O_2$ 是 $\yuan\,O_1$ 的对称轴，又是 $\yuan\,O_2$ 的对称轴，
并且点 $T$ 是 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的公共点，
所以点 $T$ 的对称点 $T'$ 也是 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_1$ 的公共点。
这和题设 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 相切相矛盾，因此假设不能成立。
连心线 $O_1O_2$ 经过切点 $T$。


\liti[0] 已知：两个等圆 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 相交于 $A$、$B$ 两点，
$\yuan\,O_1$ 经过点 $O_2$（图 \ref{fig:czjh2-7-53}）。求 $\angle O_1AB$ 的度数。

\jie $\because$ \quad $\yuan\,O_1$ 经过点 $O_2$， $\yuan\,O_1$、$\yuan\,O_2$ 是等圆，

$\therefore$ \quad $O_1A = O_1O_2 = O_2A$。

$\therefore$ \quad $\angle O_1AO_2 = 60^\circ$。

又 $\because$ \quad $AB \perp O_1O_2$，

$\therefore$ \quad $\angle O_1AB = 30^\circ$。


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{5.2cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-53}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-53}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{10.5cm}
        \centering
        \begin{minipage}[b]{5.6cm}
            \centering
            \input{../pic/czjh2-ch7-subsec13-lx-04-a}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}[b]{4cm}
            \centering
            \input{../pic/czjh2-ch7-subsec13-lx-04-b}
        \end{minipage}
        \caption*{（第 4 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}



\begin{lianxi}

\xiaoti{$\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的半径分别为 3 厘米和 4 厘米，设}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={12em, colsep=0pt}}
        \xxt{$O_1O_2 = 8$ 厘米；} & \xxt{$O_1O_2 =   7$ 厘米；} & \xxt{$O_1O_2 = 5$ 厘米；} \\
        \xxt{$O_1O_2 = 1$ 厘米；} & \xxt{$O_1O_2 = 0.5$ 厘米；} & \xxt{$O_1$ 和 $O_2$ 重合。}
    \end{tblr}

    \quad $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 的位置关系怎样？
\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{三角形的三边长分别力 4 厘米、5 厘米、6厘米，以各顶点为圆心的三个圆两两外切。
    求各圆的半径。如果三边长分别为 $a$、$b$、$c$ 呢？
}

\xiaoti{已知： $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 相交于点 $C$ 和 $D$， $O_2O_1$ 的延长线和 $\yuan\,O_1$ 相交于点 $A$，
    $AC$、$AD$ 分别和 $\yuan\,O_2$ 相交于点 $E$、$F$。 求证： $CE = DF$。
}

\xiaoti{已知：$\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 相切于点 $T$， 经过切点 $T$ 的直线与 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$
    分别相交于另一点 $A$ 和 $B$。求证： $O_1A \pingxing O_2B$。
}

\end{lianxi}

